动能定理与机械能守恒定律

　　1．如图中圆弧轨道 是竖直平面内的 圆周，在 点，轨道的切线是水平的。一质点自 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达 点时的加速度大小为＿＿＿＿，刚滑过 点时的加速度大小为＿＿＿＿。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2．图中 是一条长轨道，其中 段是倾角为 的斜面， 段是水平的。 是与 和 都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计。一质量为 的小滑块在 点从静止状态释放沿轨道下滑，最后停在 点，现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由 点推回到 点时停止。设滑块与轨道间的动摩擦因数为 ，则推力对滑块做的功等于：（　 ）
　　A　 　　　　　　　　　B　 　
　　C 　　　　D　

　　3．质量为 的物体从高为 的斜面顶端自静止开始滑下，最后停在水平面上的 点，如图所示，若该物体从斜面顶端以初速度 沿斜面下滑，则停在平面上的 点，已知 ，则物体在斜面上克服摩擦力所做的功为＿＿＿＿。

　　4．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（　 ）
　　A 物体势能的增加量
　　B 物体动能的增加量
　　C 物体动能的增加量加上物体势能的增加量
　　D 物体动能的增加量加上克服重力所做的功

　　5．质量为 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内作半径为 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为 ，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（　 ）
　　A　 　　B　 　C　 　　D　

　　6．如图所示，质量为 的物块始终固定在倾角为 的斜面上，下列说法中正确的是（　 ）
　　A　 若斜面向右匀速移动距离 ，斜面对物块没有做功
　　B　 若斜面向上匀速移动距离 ，斜面对物块做功
　　C　 若斜面向左以加速度 移动距离 ，斜面对物块做功
　　D　 若斜面向下以加速度 移动距离 ，斜面对物块做功

　　7．一物体从某一高度自由下落，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示，在 点，物体开始与弹簧接触，到 点时，物体速度为零，然后被弹回。下列说法中正确的是（　 ）
　　A　 物体从 下降到 的过程中，动能不断变小
　　B　 物体从 上升到 的过程中，动能不断变大
　　C　 物体从 下降到 ，以及从 上升到 的过程中，速率都是先增大后减小
　　D　 物体在 点时，所受合力为零

　　8．如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 ，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，两端分别与物块 和 连结， 的质量为 ， 的质量为 。开始时将 按在地上不动，然后放开手，让 沿斜面下滑而 上升。物块 与斜面间无摩擦。设当 沿斜面下滑 距离后，细线突然断了。求物块 上升的最大高度 。
　　　　　　　　　

　　9．如图所示，轻质长绳水平地跨在相距 的两个小定滑轮 上，质量为 的物块悬挂在绳上 点， 与 两滑轮的距离相等。在轻绳两端 分别施加竖直向下的恒力 ，先托住物块，使绳处于水平拉直状态，从静止释放木块，在物块下落过程中，保持 两端的拉力 不变。
　　① 当物块下落距离 为多大时，物块的加速度为零？
　　② 在物块下落上述距离的过程中，克服 端恒力 做功 为多少？
　　③ 求物块下落过程中的最大速度 和最大距离 。

　　10．如图所示，半径为 ，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴 ，在盘的最右边缘固定一个质量为 的小球 ，在 点的正下方离 点 处固定一个质量也为 的小球 ，放开盘让其自由转动。问
　　① 当 球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
　　② 球转到最低点时的线速度是多少？
　　③ 在转动过程中半径 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

　　答案与解析

　　1、（2g,g）
　　[解析]根据动能定理W=E_K2-E_K1，得
　　mgR= mv²-0　 (1)
　　向心加速度　 a= 　 (2)
　　∴a= =2g
　　滑过B点时，滑块只受重力，则a=g，即滑过B点后，物体做平抛运动。
　　注意：此题过程机械能守恒。B点是圆周运动和平抛运动的转折点。

　　2、（B）
　　[解析]由动能定理W=E_K2-E_K1，当滑块A→D时，有mgh-W_f=0，由D→A时有W_F-mgh-W_f=0解得W_F=2mgh
　　注意：从A到D过程中物体克服阻力做功为mgh，即重力势能（机械能）减少了mgh，而从D点到A点过程中，仍需克服阻力做功mgh，同时重力势能又增加mgh(机械能)，若接触面光滑，情况就不同了，推力的功只增加重力势能，即：W=mgh即可。

　　3、(mgh- mv₀²)
　　[解析]设物体在斜面上做功为W_f，在平面上动摩擦因数为μ，当物体滑到B点时，
　　由动能定理：mgh-W_f-μmgs=0
　　当物体滑到C点时，mgh-W_f-2μmgs=0- mv₀²
　　∴W_f=mgh- mv₀²
　　说明：用动能定理解题时，等式左边是外力做功的代数和，等式右边是动能的变化ΔE_K= mv_t²- mv₀²。

　　4、（C、D）
　　[解析]物体在加速上升过程中不仅重力势能增大，而且速度变大，动能变大，因此易判定C、D正确。

　　5、（C）
　　[解析]本题研究最低点和最高点的的向心力的大小以及从最低点到最高点的功能关系，主要考查学生对过程的理解。
　　(1)最低点有：（设绳的张力为T）：T-mg=m 　 6mg=m
　　(2)最高点有：T=0，重力充当向心力：mg=m
　　(3)从最低点到最高点运动的过程中有：-mg·2R-W_f= mv₂²- mv₁²
　　W_f=3mgR-2mgR- mgR= mgR
　　故选C。
　　说明：学生应找到题目中的隐含条件，动能定理的运用范围，小球运动过程中，哪些力做功，哪些力不做功。针对不同的过程，列出方程式，即可求解。

　　6、（A、B）
　　[解析]该题总的解题思路是动能定理W=E_K2-E_K1。对物块做功的物体一个是地球，一个是斜面体，地球对物体施加的力是重力mg，斜面体对物块的作用是把弹力与摩擦力合成一个，即作用力，斜面体对物块做的功用W_F表示。
　　对（A）有：W_F+mg×0= mv²- mv²
　　对（B）有：W_F-mgs= mv²- mv²
　　对（C）：如果明确斜面向左以加速度a做加速度运动则有
　　W_F+mg×0= mv²- mv₀²   (1)
　　v²=v₀²+2as　(2) 
　　解得：W_F=mas　 
　　C项才是正确的。但如果向左以加速度a做减速运动，则C项是不正确的。
　　对（D）斜面无论向下以加速度a做加速运动，还是向下以加速度a做减速运动，均是不正确的。
　　注意：斜面对物体的力，指弹力与摩擦力的合力。

　　7、（C）
　　[解析]A、B之间有一点C，此处弹簧弹力等于重力，即Kx=mg，所以物块从A到C的运动速度越来越大，加速度a= 越来越小，在C点时速度最大，加速度为零，而由C到B的运动是速度越来越小，加速度a'= 越来越大，在B点速度为零，加速度最大。物体从B到C与从C到B两运动具有对称性，从C到A与从A到C两种运动也具有对称性。
　　说明：本题的解题关键在于找到Kx=mg的点。在此点以上Kx<mg,在此点以下Kx>mg。所对应的运动先是加速度减少的变加速运动，加速度从g变到0，后是加速度变大的变减速运动。上升过程和下降过程正好相反。

　　8、（1.2s）
　　[解析]设物块A沿斜面下滑s距离时的速度为v，由机械能守恒得：
　　 v²+mgs=4mgssin30°=2mgs　 (1)
　　细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的速度为v，此后B作竖直上抛运动。设继续上升的距离为h，由机械能守恒得： mv²=mgh　　 (2)
　　物块B上升的最大高度：H=h+s　 (3)
　　由(1)、(2)、(3)解得：H=1.2s　
　　说明：上面我们是用机械能守恒定律来解的，也可用牛顿定律来解。这一题乃属联结体问题，在牛顿定律中不作要求，有条件的话，同学们也可试一下。

　　9、[l/ ,( -1)mgl, , l]
　　[解析]（1）当物块所受合外力为零时，其加速度为零，而合外力为零的位置，依三角函数可得，即为绳与竖直方向夹角为θ=60°的位置，物块下降高度：h=l·tan30°=l/ 。
　　（2）在（1）所给的过程中，C端上升距离为h'=
　　∴克服C端恒力F做功为：
　　W=F·h'=( -1)mgl
　　(3)根据动能定理，W=E_K2-E_K1，即拉力和重力对物块做的功等于物块动能的增量。当物块下落x时，依动能定理，有：mgx-2mg( )= mv²
　　因为物块在下落过程中先加速后减速，物块的加速度为零时速度达最大值。
　　即：当x=h时，v_m=
　　当v=0时，物块在下落过程中距离最大，所以mgH=2mg( )
　　H= l
　　注意：本题是一道较为典型的功能关系的习题。建议有能力的同学可以将力F变换成物体m，对三个物体运动性质进行分析。如果对速度的合成与分解比较熟悉，仍可做上述计算。

　　10、（ mgr,2 ，arcsin ）
　　[解析]依机械能守恒定律考虑此题，因为题设条件满足圆盘与A、B两球构成的系统机械能守恒。可选过C点的水平面为零势面，则初始位置机械能：E=E_P+E_K= mgr+0
　　（1）A球转到最低点时，两小球重力势能之和减少了
　　（2）由机械能守恒：E₁=E₂，即 mgr=mgr+ mv²+ m( )²
　　
　　(3)由机械能守恒：E₁=E₃　 mgr=mg (1-cosα) r+mg (1+ sinα) r
　　 =cosα- sinα
　　 = - sinα
　　sinα= ,α=arcsin
　　说明：A、B两球在同一个转动体上，角速度相等，线速度与半径成正比，所以v_A=2v_B,利用机械能守恒定律解题，关键是找准零势能面，确定A、B两球在每个瞬时位置上的势能和动能，再由机械能守恒定律列出方程式，即可求解。