北 京 四 中

高中数学高考综合复习

　　专题三　　 函数的概念

　　一.知识网络
　　　 　　　　　　
　　二.高考考点
　　1.映射中的象与原象的概念;
　　2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
　　3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
　　4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.

　　三.知识要点
　　(一)函数的定义
　　1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).

　　2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.

　　3、认知:
　　①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.

　　②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.

　　(二).映射的概念
　　将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
　　1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B

　　2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.

　　3、认知:
　　映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.

　　集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.

　　（三）、函数的表示法
　　表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
　　1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

　　2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.

　　3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.

　　图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

　　认知:函数符号的意义
　　在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.

　　其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.

　　具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x>1)　　　　 ①
　　对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5(　) －2（　）＋3，（　）＞１．
　　即f: 5(　) -2(　　 )+3,(　　 )>1.
　　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
　　f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1);
　　f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1);
　　f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有
　　f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 )　　　　 ②

　　感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
　　f(x)的解析式f[g(x)]的表达式

　　我们将上述替换形象地称之为“同位替换”.

　　显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.

　　四.经典例题
　　例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中
(　　 )
　　 　　　 　　
　　 　　　 　　

　　分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,
　　故当0≤t≤1时,　ｓ＝ ，,由此否定A,B,D,应选C.

　　分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
　　当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS₁, ΔS₂…, ΔS_n是递增的(ΔS_i是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C.

　　例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.　

　　分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间.

　　解:
　　(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, ｙ＝ ,即 ;

　　(2)当2<x≤4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰RtΔ(确定的)和一个矩形,此时 ,即y=2x-2;

　　(3)当4<x≤6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线ｌ右侧),此时 ,即

　　因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
　　
　　由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪ ∪ =[0,6].
　　又当0≤x≤2时, ,即此时0≤y≤2;
　　当2<x≤4时,2<2x-2≤6,即此时2<y≤6;
　　当4<x≤6时,6< ≤8,即此时6<y≤8.
　　∴函数f(x)的值域为[0,2] ∪ ∪ =[0,8]

　　点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.

　　例3.
　　(1)已知f(x)=x²+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;
　　(2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.

　　解: (1)
　　∵f(x)=x²+2x-1 (x>2)
　　∴以2x+1替代上式中的x得
　　f(2x+1)=(2x+1)²+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
　　∴f(2x+1)=4x²+8x+2 (x> )

　　(2)由已知得
　　∴以x替代上式中的 得
　　f(x)=x²-1 (x≥1)
　　∴f(x+1)=(x＋1)²-1 (x+1≥1)
　　即f(x+1)=x²+2x (x≥0)

　　点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换:
　　(1)解析式中的替换;
　　(2) 取值范围中的替换.
　　根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.

　　例4. 设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x²,试求不等式f(1-x)<x的解集.

　　分析:为将不等式f(x+1)<x具体化,根据“同位替换”法则,先求f(1-x)的表达式.

　　解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1≤x≤1 -1≤2x+1≤3,
　　∴运用“同位替换”的思想
　　在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3　　　　　　　　　①
　　又由题设知f(x-1)=(x-1)²+2(x-1)+1　　　　 ②
　　∴由①、②得f(x-1)=(x-1)²+2(x-1)+1　(-1≤x-1≤3)
　　∴f(1-x)=(1-x)²+2(1-x)+1　(-1≤1-x≤3)
　　即f(1-x)=x²-4x+4　(-2≤x≤2)
　　于是有f(1-x)<x x²-4x+4<x　(-2≤x≤2)
　　 x²-5x+4<0　(-2≤x≤2)
　　 (x-1)(x-4)<0　(-2≤x≤2)
　　 1<x<4　(-2≤x≤2)
　　 1<x≤2
　　因此,所求不等式f(1-x)<x的解集为 .

　　点评:在这里,三个不同函数f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以x为自变量,x是“一仆三主”.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意“两方替换”,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.

　　例5. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
　　①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为　　　　　　 ;
　　②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为　　　　 ;
　　③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为　　　　.

　　(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足
　　f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为　　　　 .

　　分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.

　　解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
　　①列表法：
　　∵f(a)>f(b)≥f(c)
　　∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
　　根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

f(a)	f(b)	f(c)
1	0	0
1	0	-1
1	-1	-1
0	-1	-1

　　由此可知符合条件的映射是4个.

　　②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察

f(a)	f(b)	f(c)
0	0	0
0	1	-1
0	-1	1
1	0	-1
1	-1	0
-1	1	0
-1	0	1

　　由此可知符合条件的映射有7个.

　　③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)
　　即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
　　（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.

　　（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}
　　{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
　　此时符合条件的映射有4个.

　　（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}
　　{-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1
　　∴此时符合条件的映射f有2个

　　于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.

　　(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
　　(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;

　　(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 ×3=12个;

　　(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 ×1=6个。

　　于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.

　　点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.

　　例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
　　(1)求f(1)的值;
　　(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.

　　分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”之间的辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标.

　　解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)　　①
　　又令x=0,y=0得f(0)=-1　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　令x=-1,y=-1得　　 f(-2)=2f(-1)+2　　　　
　　∵f(-2)=-2,　　 ∴f(-1)=-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③
　　∴将②、③代入①得f(1)=1.

　　(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得
　　f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2
　　∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　④
　　根据④,运用阶差法得
　　f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+…+[f(t)-f(t-1)]
　　∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+…+[(t-1)+2]
　　=1+2(t-1)+
　　即f(t)=
　　∴f(t)=t
　　 t²+t-2=0
　　 (t-1)(t+2)=0
　　 t=1或t=-2
　　于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.

　　点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.

　　五. 高考真题
　　(一)选择题
　　1.(2005·湖北卷) 在y=2^x, y=log₂x, y=x², y=cos2x这四个函数中,当0<x₁<x₂<1时, 恒成立的函数的个数是(　　 ).
　　A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3

　　分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x₁,x₂∈I,且x₁<x₂,当f(x)总满足 时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2^x,y=x²,y=cos2x, 本题应选B

　　2.(2004·湖北卷) 已知 ,则f(x)的解析式可取为(　　 )
　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

　　分析:运用直接法．
　　令 =t，则x= 　　 (t≠-1),　　
　　∴f(t)= 　　(t≠-1)
　　∴f(ｘ)= 　　(x≠-1) 应选C

　　说明:注意到对于 ,有 =－1+ ≠-1,∴对于 f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.

　　3. (2004·湖南卷) 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为(　　 ).
　　A.1　　　　　　 B.2　　　　　　 C.3　　　　 D.4

　　分析: 从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
　　
　　∴方程f(x)=x 或 　 　或x=2
　　 或x=2,　　 故本题应选C

　　4.(2004·全国卷C) 设函数f(x)= ,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为(　　 )
　　A. ∪[0,10]　　 　　B. ∪[0,1]　　
　　C. ∪[1,10]　　　　 D.[-2,0]∪[1,10]

　　分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
　　f(x)≥1 或 　x<-2 或 1≤x≤10,故应选A
　　运用特取法:取 ,则 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本题应选A

　　(二)填空题
　　1.(2005·江苏卷) 已知a,b为常数,若f(x)=x²+4x+3, f(ax+b)=x²+10x+24,则5a-b=　　　　 .

　　分析: 由f(x)=x²+4x+3得
　　f(ax+b)=(ax+b)²＋4（ax+b）+3=a²x²+(2ab+4a)x+b²+4b+3,
　　∴由已知条件得a²x²+(2ab+4a)x+b²+4b+3= x²+10x+24
　　故有 　
　　∴5a-b=2

　　2.(2005·北京卷) 对于函数定义域中任意的x₁,x₂(x₁≠x₂),有如下结论:
　　① f(x₁+x₂)= f(x₁)·f(x₂)
　　② f(x₁·x₂)= f(x₁)+f(x₂)
　　③ ;
　　④ .
　　当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是　　　　　　　　 .

　　分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确;
　　借助f(x)=lgx的图象,考察 的几何意义;经过点(x₁, f(x₁)),( x₂, f(x₂))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象“上凸”,可知④正确.故本题应填②、③、④.

　　3.(2004·浙江) 已知 ,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是　　　　 .

　　分析: 注意到原不等式中“f”之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.
　　原不等式 或 或 x<-2
　　∴原不等式的解集为 .

　　(三)解答题
　　1.(2005·浙江卷) 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x²+2x.
　　(1)求函数g(x)的解析式;
　　(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

　　分析: 求“对称曲线”的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,“分类讨论”乃是解题取胜的杀手锏.

　　解: (1)设点Q(x₀,y₀)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则
　　有
　　 　　 　 ①
　　∵点Q(x₀,y₀)在函数y=f(x)图象上
　　∴y₀=x₀²+2x₀　　　　　　　　　　 ②
　　∴①代入②得　　 -y=(-x)²+2(-x)
　　即 y=-x²+2x
　　故有g(x)=-x²+2x
　　(2) g(x)≥f(x)-|x-1|2x²-|x-1|≤0
　　当x≥1时,2x²-x+1≤0, 此不等式无解;
　　当x<1时, 2x²+x-1≤0 .
　　∴原不等式的解集为 .

　　点评:以“点对称”入手破解对称问题,以“绝对值的零值”分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.

　　2.(2005·上海卷) 已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B, = ( 分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x²-x-6
　　(1) 求k、b的值;
　　(2) 当x满足f(x)>g(x)时,求函数 的最小值.

　　分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所给函数的最小值.

　　解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得
　　∴所求k=1,b=2.
　　(2) f(x)>g(x) x+2>x²-x-6 x²-2x-8<0 -2<x<4　　　　　　　　①
　　 = =
　　=(x+2)+ -5 (分离整式项)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
　　又由①知　　 0<x+2<6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　③
　　∴由②得 -5=-3
　　当且仅当x+2= 即x=-1(满足①式)时等号成立.
　　∴函数 的最小值为-3.

　　点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项.“分离”整式项的手法,是在分子实施“配凑”,将分子表示为分母的函数式.

　　3.(2005·江西卷)已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x₁=3,x₂=4.
　　(1)求函数f(x)的解析式;
　　(2)设k>1,解关x的不等式 .

　　分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项—通分—分解因式—转化(为整式不等式)—求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.

　　解:
　　(1) f(x)-x+12=0 -x+12=0
　　将x₁=3,x₂=4代入方程得
　　解得
　　∴f(x)=

　　(2)原不等式 f(x)-
　　
　　 (2-x)[ ]<0
　　 (x-2)(x-1)(x-k)>0　　　　　　　　　　　　 ※

　　(I) 当1<k<2时,由(※)解得1<x<k 或 x>2;
　　(II)当k=2时,由(※)得(x-2)²(x-1)>0 1<x<2 或 x>2;
　　(III)当k>2时,由(※)得1<x<2 或 x>k.
　　于是可知,当1<k≤2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);
　　当k>2时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

　　点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用“根轴法”，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.

　　4.(2005·上海卷) 对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数
　　 　　　　
　　(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x²,写出函数h(x)的解析式;
　　(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
　　(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

　　分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于“分段探求,综合结论”的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的“一分为二”的变形入手.

　　解:
　　(1)这里D_f=(-∞,1)∪(1,+∞)　　 D_g=R
　　∴当x∈D_f且x∈D_g,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时， ;
　　当x D_f且x ∈ D_g,即x=1时,h(x)=g(x)=1;
　　又x∈D_f且x D_g的x不存在,故得

　　(2)当x≠1时, =(x-1)+ +2
　　∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
　　若x<1, 则 x-1<0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立.
　　又当x=1时,h(x)=1.
　　∴函数h(x)的值域为 ∪{1}∪ .

　　(3)由题意得h(x)=f(x) f(x+ )　　　　　　　　　　 　①
　　又注意到cos4x=cos²2x-sin²2x
　　=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)
　　=(cos2x+sin2x) 　　　　②
　　∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) =
　　则有g(x)= f(x+ )=
　　= cos2x－sin2x　　
　　于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)
　　= cos²2x-sin²2x=cos4x.

　　点评: 　　
　　(I) 对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1.
　　(II) 既要注意(3)中g(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.

　　5.(2004·上海卷) 已知二次函数y=f₁(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f₂(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x)
　　(1)求函数f(x)的表达式;
　　(2)证明: 当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

　　分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用“待定系数法”探求f₁(x)与f₂(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.

　　解:
　　(1)由题意设f₁(x)=ax², f₂(x)= (k>0),
　　由f₁(1)=1得a=1,故f₁(x)=x²
　　又y=f₂(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f₂(x)= 　　　　　　∴ f(x)=x²+

　　(2)
　　证法一: 由f(x)=f(a)得x²+ = =－x²+
　　在同一坐标系内作出f₂(x)= 与f₃(x)= －x²+ 的大致图象,注意到f₂(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f₃(x)= －x²+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f₂(x)= 与f₃(x)= －x²+ 的图象在第三象限有一个交点,
　　即f(x)=f(a)有一个负数解.　　　　 　　　　　　　　　①
　　又∵f₂(2)=4, f₃(2)= -4　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴当a>3时, f₃(2)－f₂(2)= -8>0,
　　∴当a>3时,在第一象限f₃(x)的图象上存在一点(2, f₃(2))在y=f₂(x) 图象的上方.
　　∴y=f₂(x)与y=f₃(x)的图象在第一象限有两个交点.
　　即方程f(x)=f(a)有两个正数解.　　　　　　　　　　 　②
　　于是由①、②知,当a>3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.

　　证法二: 由f(x)=f(a)得x²+ = (x-a)(x+a- )=0
　　∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.　　　　　　　　 　　　　　①
　　又方程 x+a- =0可化为ax²+ －8=0　　　　　　 　　　　　②
　　由a>3得方程②的判别式Δ=a⁴+32a>0
　　∴由②解得x₂= ,x₃=
　　∵x₂<0. x₃>0,　　 ∴x₁≠x₂ 且x₂≠x₃ 　　　　　　　　　　③
　　此时,若x₁= x₃,则有a= 3a²= a⁴=4aa=0 或 a=
　　这与a>3矛盾,故有x₁≠ x₃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④
　　于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.

　　点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.